Datrys {l}{2x+5y=97}{x+y=32}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 97 } \\ { x + y = 32 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=21$$

$$y=11$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+5y=97,x+y=32$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+5y=97$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-5y+97$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+97\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -5y+97.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{97}{2}$$

Amnewid \frac{-5y+97}{2} am x yn yr hafaliad arall, x+y=32.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{97}{2}+y=32$$

Adio -\frac{5y}{2} at y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{97}{2}=32$$

Tynnu \frac{97}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{33}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{3}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=11$$

Cyfnewidiwch 11 am y yn x=-\frac{5}{2}y+\frac{97}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{2}\times 11+\frac{97}{2}$$

Lluoswch -\frac{5}{2} â 11.

$$x=\frac{-55+97}{2}$$

Adio \frac{97}{2} at -\frac{55}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=21$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=21,y=11$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+5y=97,x+y=32$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\32\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\32\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\32\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\32\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5}&-\frac{5}{2-5}\\-\frac{1}{2-5}&\frac{2}{2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\32\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\32\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 97+\frac{5}{3}\times 32\\\frac{1}{3}\times 97-\frac{2}{3}\times 32\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\11\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=21,y=11$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+5y=97,x+y=32$$

I wneud 2x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$2x+5y=97,2x+2y=2\times 32$$

Symleiddio.

$$2x+5y=97,2x+2y=64$$

Tynnwch 2x+2y=64 o 2x+5y=97 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x+5y-2y=97-64$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$5y-2y=97-64$$

Adio 5y at -2y.

$$3y=97-64$$

Adio 97 at -64.

$$3y=33$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=11$$

Cyfnewidiwch 11 am y yn x+y=32. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+11=32$$

Tynnu 11 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=21$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=21,y=11$$