Datrys {l}{2x+5y=16}{3x-7y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 16 } \\ { 3 x - 7 y = 24 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=8$$

$$y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+5y=16$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-5y+16$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+16\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -5y+16.

$$x=-\frac{5}{2}y+8$$

Amnewid -\frac{5y}{2}+8 am x yn yr hafaliad arall, 3x-7y=24.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+8\right)-7y=24$$

Lluoswch 3 â -\frac{5y}{2}+8.

$$-\frac{15}{2}y+24-7y=24$$

Adio -\frac{15y}{2} at -7y.

$$-\frac{29}{2}y+24=24$$

Tynnu 24 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{29}{2}y=0$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{29}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn x=-\frac{5}{2}y+8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=8$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=8,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-7\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-7\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-7\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&\frac{5}{29}\\\frac{3}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 16+\frac{5}{29}\times 24\\\frac{3}{29}\times 16-\frac{2}{29}\times 24\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=8,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

I wneud 2x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 16,2\times 3x+2\left(-7\right)y=2\times 24$$

Symleiddio.

$$6x+15y=48,6x-14y=48$$

Tynnwch 6x-14y=48 o 6x+15y=48 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+15y+14y=48-48$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$15y+14y=48-48$$

Adio 15y at 14y.

$$29y=48-48$$

Adio 48 at -48.

$$29y=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 29.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn 3x-7y=24. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x=24$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=8$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=8,y=0$$