Datrys {l}{2x+3y=30}{6x+8y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 30 } \\ { 6 x + 8 y = 42 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-57$$

$$y=48$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+3y=30,6x+8y=42$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+3y=30$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-3y+30$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+30\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3y+30.

$$x=-\frac{3}{2}y+15$$

Amnewid -\frac{3y}{2}+15 am x yn yr hafaliad arall, 6x+8y=42.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+15\right)+8y=42$$

Lluoswch 6 â -\frac{3y}{2}+15.

$$-9y+90+8y=42$$

Adio -9y at 8y.

$$-y+90=42$$

Tynnu 90 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-y=-48$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=48$$

Cyfnewidiwch 48 am y yn x=-\frac{3}{2}y+15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{2}\times 48+15$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â 48.

$$x=-72+15$$

Adio 15 at -72.

$$x=-57$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-57,y=48$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+3y=30,6x+8y=42$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-3\times 6}&-\frac{3}{2\times 8-3\times 6}\\-\frac{6}{2\times 8-3\times 6}&\frac{2}{2\times 8-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&\frac{3}{2}\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 30+\frac{3}{2}\times 42\\3\times 30-42\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-57\\48\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-57,y=48$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+3y=30,6x+8y=42$$

I wneud 2x a 6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 6 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 30,2\times 6x+2\times 8y=2\times 42$$

Symleiddio.

$$12x+18y=180,12x+16y=84$$

Tynnwch 12x+16y=84 o 12x+18y=180 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x+18y-16y=180-84$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$18y-16y=180-84$$

Adio 18y at -16y.

$$2y=180-84$$

Adio 180 at -84.

$$2y=96$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=48$$

Cyfnewidiwch 48 am y yn 6x+8y=42. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$6x+8\times 48=42$$

Lluoswch 8 â 48.

$$6x+384=42$$

Tynnu 384 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=-342$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=-57$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-57,y=48$$