Datrys {l}{2X-2+4Y=1/2}{8(Y-1/2)=9(X+1)-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 X - 2 + 4 Y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( Y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( X + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer X, Y

$$X=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$Y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Ychwanegu 2 at y ddwy ochr.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

Adio \frac{1}{2} a 2 i gael \frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 8 â Y-\frac{1}{2}.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 9 â X+1.

$$8Y-4=9X+9-4$$

Tynnu 4 o 9 i gael 5.

$$8Y-4=9X+5$$

Tynnu 9X o'r ddwy ochr.

$$8Y-4-9X=5$$

Ychwanegu 4 at y ddwy ochr.

$$8Y-9X=5+4$$

Adio 5 a 4 i gael 9.

$$8Y-9X=9$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer X drwy ynysu X ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Tynnu 4Y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2X=-4Y+\frac{5}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$X=\frac{1}{2}\left(-4Y+\frac{5}{2}\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -4Y+\frac{5}{2}.

$$X=-2Y+\frac{5}{4}$$

Amnewid -2Y+\frac{5}{4} am X yn yr hafaliad arall, -9X+8Y=9.

$$-9\left(-2Y+\frac{5}{4}\right)+8Y=9$$

Lluoswch -9 â -2Y+\frac{5}{4}.

$$18Y-\frac{45}{4}+8Y=9$$

Adio 18Y at 8Y.

$$26Y-\frac{45}{4}=9$$

Adio \frac{45}{4} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$26Y=\frac{81}{4}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 26.

$$Y=\frac{81}{104}$$

Cyfnewidiwch \frac{81}{104} am Y yn X=-2Y+\frac{5}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer X yn uniongyrchol.

$$X=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

Lluoswch -2 â \frac{81}{104}.

$$X=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

Adio \frac{5}{4} at -\frac{81}{52} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$X=-\frac{4}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Ychwanegu 2 at y ddwy ochr.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

Adio \frac{1}{2} a 2 i gael \frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 8 â Y-\frac{1}{2}.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 9 â X+1.

$$8Y-4=9X+9-4$$

Tynnu 4 o 9 i gael 5.

$$8Y-4=9X+5$$

Tynnu 9X o'r ddwy ochr.

$$8Y-4-9X=5$$

Ychwanegu 4 at y ddwy ochr.

$$8Y-9X=5+4$$

Adio 5 a 4 i gael 9.

$$8Y-9X=9$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics X a Y.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Ychwanegu 2 at y ddwy ochr.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

Adio \frac{1}{2} a 2 i gael \frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 8 â Y-\frac{1}{2}.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 9 â X+1.

$$8Y-4=9X+9-4$$

Tynnu 4 o 9 i gael 5.

$$8Y-4=9X+5$$

Tynnu 9X o'r ddwy ochr.

$$8Y-4-9X=5$$

Ychwanegu 4 at y ddwy ochr.

$$8Y-9X=5+4$$

Adio 5 a 4 i gael 9.

$$8Y-9X=9$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

I wneud 2X a -9X yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -9 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$-9\times 2X-9\times 4Y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)X+2\times 8Y=2\times 9$$

Symleiddio.

$$-18X-36Y=-\frac{45}{2},-18X+16Y=18$$

Tynnwch -18X+16Y=18 o -18X-36Y=-\frac{45}{2} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-18X+18X-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

Adio -18X at 18X. Mae'r termau -18X a 18X yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

Adio -36Y at -16Y.

$$-52Y=-\frac{45}{2}-18$$

Adio -\frac{45}{2} at -18.

$$-52Y=-\frac{81}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -52.

$$Y=\frac{81}{104}$$

Cyfnewidiwch \frac{81}{104} am Y yn -9X+8Y=9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer X yn uniongyrchol.

$$-9X+8\times \frac{81}{104}=9$$

Lluoswch 8 â \frac{81}{104}.

$$-9X+\frac{81}{13}=9$$

Tynnu \frac{81}{13} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-9X=\frac{36}{13}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -9.

$$X=-\frac{4}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$