Datrys {l}{11x+5y=7}{6x+3y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-28$$

$$y=63$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$11x+5y=7$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$11x=-5y+7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

Lluoswch \frac{1}{11} â -5y+7.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

Amnewid \frac{-5y+7}{11} am x yn yr hafaliad arall, 6x+3y=21.

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

Lluoswch 6 â \frac{-5y+7}{11}.

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

Adio -\frac{30y}{11} at 3y.

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

Tynnu \frac{42}{11} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{3}{11}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=63$$

Cyfnewidiwch 63 am y yn x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

Lluoswch -\frac{5}{11} â 63.

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

Adio \frac{7}{11} at -\frac{315}{11} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-28$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-28,y=63$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-28,y=63$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

I wneud 11x a 6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 6 a holl dermau naill ochr yr ail â 11.

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

Symleiddio.

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

Tynnwch 66x+33y=231 o 66x+30y=42 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

Adio 66x at -66x. Mae'r termau 66x a -66x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$30y-33y=42-231$$

Adio 30y at -33y.

$$-3y=42-231$$

Adio 42 at -231.

$$-3y=-189$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$y=63$$

Cyfnewidiwch 63 am y yn 6x+3y=21. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$6x+3\times 63=21$$

Lluoswch 3 â 63.

$$6x+189=21$$

Tynnu 189 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=-168$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=-28$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-28,y=63$$