Datrys {l}{11x+3y=14}{x+7y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 3 y = 14 } \\ { x + 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$11x+3y=14,x+7y=8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$11x+3y=14$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$11x=-3y+14$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-3y+14\right)$$

Lluoswch \frac{1}{11} â -3y+14.

$$x=-\frac{3}{11}y+\frac{14}{11}$$

Amnewid \frac{-3y+14}{11} am x yn yr hafaliad arall, x+7y=8.

$$-\frac{3}{11}y+\frac{14}{11}+7y=8$$

Adio -\frac{3y}{11} at 7y.

$$\frac{74}{11}y+\frac{14}{11}=8$$

Tynnu \frac{14}{11} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{74}{11}y=\frac{74}{11}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{74}{11}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=-\frac{3}{11}y+\frac{14}{11}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{-3+14}{11}$$

Adio \frac{14}{11} at -\frac{3}{11} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$11x+3y=14,x+7y=8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11\times 7-3}&-\frac{3}{11\times 7-3}\\-\frac{1}{11\times 7-3}&\frac{11}{11\times 7-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{74}&-\frac{3}{74}\\-\frac{1}{74}&\frac{11}{74}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{74}\times 14-\frac{3}{74}\times 8\\-\frac{1}{74}\times 14+\frac{11}{74}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$11x+3y=14,x+7y=8$$

I wneud 11x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 11.

$$11x+3y=14,11x+11\times 7y=11\times 8$$

Symleiddio.

$$11x+3y=14,11x+77y=88$$

Tynnwch 11x+77y=88 o 11x+3y=14 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$11x-11x+3y-77y=14-88$$

Adio 11x at -11x. Mae'r termau 11x a -11x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3y-77y=14-88$$

Adio 3y at -77y.

$$-74y=14-88$$

Adio 14 at -88.

$$-74y=-74$$

Rhannu’r ddwy ochr â -74.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x+7y=8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+7=8$$

Tynnu 7 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=1$$