Datrys {l}{1=2r-3s}{4=3r+2s}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 = 2 r - 3 s } \\ { 4 = 3 r + 2 s } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer r, s

$$r = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

$$s=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$2r-3s=1$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$3r+2s=4$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer r drwy ynysu r ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2r-3s=1$$

Adio 3s at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2r=3s+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$r=\frac{1}{2}\left(3s+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 3s+1.

$$r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}$$

Amnewid \frac{3s+1}{2} am r yn yr hafaliad arall, 3r+2s=4.

$$3\left(\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}\right)+2s=4$$

Lluoswch 3 â \frac{3s+1}{2}.

$$\frac{9}{2}s+\frac{3}{2}+2s=4$$

Adio \frac{9s}{2} at 2s.

$$\frac{13}{2}s+\frac{3}{2}=4$$

Tynnu \frac{3}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{13}{2}s=\frac{5}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{13}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$s=\frac{5}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{5}{13} am s yn r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer r yn uniongyrchol.

$$r=\frac{3}{2}\times \frac{5}{13}+\frac{1}{2}$$

Lluoswch \frac{3}{2} â \frac{5}{13} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$r=\frac{15}{26}+\frac{1}{2}$$

Adio \frac{1}{2} at \frac{15}{26} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$r=\frac{14}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$2r-3s=1$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$3r+2s=4$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}+\frac{3}{13}\times 4\\-\frac{3}{13}+\frac{2}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics r a s.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$2r-3s=1$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$3r+2s=4$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

I wneud 2r a 3r yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$3\times 2r+3\left(-3\right)s=3,2\times 3r+2\times 2s=2\times 4$$

Symleiddio.

$$6r-9s=3,6r+4s=8$$

Tynnwch 6r+4s=8 o 6r-9s=3 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6r-6r-9s-4s=3-8$$

Adio 6r at -6r. Mae'r termau 6r a -6r yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-9s-4s=3-8$$

Adio -9s at -4s.

$$-13s=3-8$$

Adio 3 at -8.

$$-13s=-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â -13.

$$s=\frac{5}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{5}{13} am s yn 3r+2s=4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer r yn uniongyrchol.

$$3r+2\times \frac{5}{13}=4$$

Lluoswch 2 â \frac{5}{13}.

$$3r+\frac{10}{13}=4$$

Tynnu \frac{10}{13} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3r=\frac{42}{13}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$r=\frac{14}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$