Datrys {l}{-x-3y=12}{-5x-9y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 3 y = 12 } \\ { - 5 x - 9 y = 18 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=9$$

$$y=-7$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-x-3y=12$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=3y+12$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=-\left(3y+12\right)$$

Lluoswch -1 â 12+3y.

$$x=-3y-12$$

Amnewid -3y-12 am x yn yr hafaliad arall, -5x-9y=18.

$$-5\left(-3y-12\right)-9y=18$$

Lluoswch -5 â -3y-12.

$$15y+60-9y=18$$

Adio 15y at -9y.

$$6y+60=18$$

Tynnu 60 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6y=-42$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$y=-7$$

Cyfnewidiwch -7 am y yn x=-3y-12. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-3\left(-7\right)-12$$

Lluoswch -3 â -7.

$$x=21-12$$

Adio -12 at 21.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=-7$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 18\\-\frac{5}{6}\times 12+\frac{1}{6}\times 18\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-7\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=9,y=-7$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

I wneud -x a -5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -5 a holl dermau naill ochr yr ail â -1.

$$-5\left(-1\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 12,-\left(-5\right)x-\left(-9y\right)=-18$$

Symleiddio.

$$5x+15y=-60,5x+9y=-18$$

Tynnwch 5x+9y=-18 o 5x+15y=-60 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5x-5x+15y-9y=-60+18$$

Adio 5x at -5x. Mae'r termau 5x a -5x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$15y-9y=-60+18$$

Adio 15y at -9y.

$$6y=-60+18$$

Adio -60 at 18.

$$6y=-42$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$y=-7$$

Cyfnewidiwch -7 am y yn -5x-9y=18. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-5x-9\left(-7\right)=18$$

Lluoswch -9 â -7.

$$-5x+63=18$$

Tynnu 63 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-5x=-45$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=-7$$