Datrys {l}{-5x+y=-3}{3x-8y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 3 } \\ { 3 x - 8 y = 24 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-5x+y=-3,3x-8y=24$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-5x+y=-3$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-5x=-y-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-3\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{5} â -y-3.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}$$

Amnewid \frac{3+y}{5} am x yn yr hafaliad arall, 3x-8y=24.

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}\right)-8y=24$$

Lluoswch 3 â \frac{3+y}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{9}{5}-8y=24$$

Adio \frac{3y}{5} at -8y.

$$-\frac{37}{5}y+\frac{9}{5}=24$$

Tynnu \frac{9}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{37}{5}y=\frac{111}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{37}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am y yn x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{3}{5}$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -3.

$$x=\frac{-3+3}{5}$$

Adio \frac{3}{5} at -\frac{3}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-5x+y=-3,3x-8y=24$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-5\left(-8\right)-3}&-\frac{1}{-5\left(-8\right)-3}\\-\frac{3}{-5\left(-8\right)-3}&-\frac{5}{-5\left(-8\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{37}&-\frac{1}{37}\\-\frac{3}{37}&-\frac{5}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{37}\left(-3\right)-\frac{1}{37}\times 24\\-\frac{3}{37}\left(-3\right)-\frac{5}{37}\times 24\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=0,y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-5x+y=-3,3x-8y=24$$

I wneud -5x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â -5.

$$3\left(-5\right)x+3y=3\left(-3\right),-5\times 3x-5\left(-8\right)y=-5\times 24$$

Symleiddio.

$$-15x+3y=-9,-15x+40y=-120$$

Tynnwch -15x+40y=-120 o -15x+3y=-9 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-15x+15x+3y-40y=-9+120$$

Adio -15x at 15x. Mae'r termau -15x a 15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3y-40y=-9+120$$

Adio 3y at -40y.

$$-37y=-9+120$$

Adio -9 at 120.

$$-37y=111$$

Rhannu’r ddwy ochr â -37.

$$y=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am y yn 3x-8y=24. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-8\left(-3\right)=24$$

Lluoswch -8 â -3.

$$3x+24=24$$

Tynnu 24 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=-3$$