Datrys {l}{-5x+3y=3}{4x+3y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 3 y = 3 } \\ { 4 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-5x+3y=3$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-5x=-3y+3$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y+3\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{5} â -3y+3.

$$x=\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}$$

Amnewid \frac{-3+3y}{5} am x yn yr hafaliad arall, 4x+3y=30.

$$4\left(\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=30$$

Lluoswch 4 â \frac{-3+3y}{5}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{12}{5}+3y=30$$

Adio \frac{12y}{5} at 3y.

$$\frac{27}{5}y-\frac{12}{5}=30$$

Adio \frac{12}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{27}{5}y=\frac{162}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{27}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=6$$

Cyfnewidiwch 6 am y yn x=\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{5}\times 6-\frac{3}{5}$$

Lluoswch \frac{3}{5} â 6.

$$x=\frac{18-3}{5}$$

Adio -\frac{3}{5} at \frac{18}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-5\times 3-3\times 4}&-\frac{3}{-5\times 3-3\times 4}\\-\frac{4}{-5\times 3-3\times 4}&-\frac{5}{-5\times 3-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{4}{27}&\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 3+\frac{1}{9}\times 30\\\frac{4}{27}\times 3+\frac{5}{27}\times 30\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Tynnwch 4x+3y=30 o -5x+3y=3 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-5x-4x+3y-3y=3-30$$

Adio 3y at -3y. Mae'r termau 3y a -3y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-5x-4x=3-30$$

Adio -5x at -4x.

$$-9x=3-30$$

Adio 3 at -30.

$$-9x=-27$$

Rhannu’r ddwy ochr â -9.

$$x=3$$

Cyfnewidiwch 3 am x yn 4x+3y=30. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$4\times 3+3y=30$$

Lluoswch 4 â 3.

$$12+3y=30$$

Tynnu 12 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3y=18$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=6$$