Datrys {l}{-3x+y=10}{-2x+4y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + y = 10 } \\ { - 2 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-3x+y=10$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=-y+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y+10\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â -y+10.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}$$

Amnewid \frac{-10+y}{3} am x yn yr hafaliad arall, -2x+4y=0.

$$-2\left(\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}\right)+4y=0$$

Lluoswch -2 â \frac{-10+y}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}+4y=0$$

Adio -\frac{2y}{3} at 4y.

$$\frac{10}{3}y+\frac{20}{3}=0$$

Tynnu \frac{20}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{10}{3}y=-\frac{20}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{10}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x=\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{10}{3}$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -2.

$$x=\frac{-2-10}{3}$$

Adio -\frac{10}{3} at -\frac{2}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-4,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-3\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-3\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{3}{-3\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-4,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

I wneud -3x a -2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -2 a holl dermau naill ochr yr ail â -3.

$$-2\left(-3\right)x-2y=-2\times 10,-3\left(-2\right)x-3\times 4y=0$$

Symleiddio.

$$6x-2y=-20,6x-12y=0$$

Tynnwch 6x-12y=0 o 6x-2y=-20 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-2y+12y=-20$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-2y+12y=-20$$

Adio -2y at 12y.

$$10y=-20$$

Rhannu’r ddwy ochr â 10.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn -2x+4y=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-2x+4\left(-2\right)=0$$

Lluoswch 4 â -2.

$$-2x-8=0$$

Adio 8 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=8$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=-4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-4,y=-2$$