Datrys {l}{(A+B)3-B=6}{(2A+B)3^2-B=42}

$$\left. \begin{array} { l } { ( A + B ) 3 - B = 6 } \\ { ( 2 A + B ) 3 ^ { 2 } - B = 42 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer A, B

$$A=3$$

$$B = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi A+B â 3.

$$3A+3B-B=6$$

Cyfuno 3B a -B i gael 2B.

$$3A+2B=6$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfrifo 3 i bŵer 2 a chael 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2A+B â 9.

$$18A+9B-B=42$$

Cyfuno 9B a -B i gael 8B.

$$18A+8B=42$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer A drwy ynysu A ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3A+2B=6$$

Tynnu 2B o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3A=-2B+6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$A=\frac{1}{3}\left(-2B+6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -2B+6.

$$A=-\frac{2}{3}B+2$$

Amnewid -\frac{2B}{3}+2 am A yn yr hafaliad arall, 18A+8B=42.

$$18\left(-\frac{2}{3}B+2\right)+8B=42$$

Lluoswch 18 â -\frac{2B}{3}+2.

$$-12B+36+8B=42$$

Adio -12B at 8B.

$$-4B+36=42$$

Tynnu 36 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4B=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$B=-\frac{3}{2}$$

Cyfnewidiwch -\frac{3}{2} am B yn A=-\frac{2}{3}B+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer A yn uniongyrchol.

$$A=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

Lluoswch -\frac{2}{3} â -\frac{3}{2} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$A=1+2$$

Adio 2 at 1.

$$A=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi A+B â 3.

$$3A+3B-B=6$$

Cyfuno 3B a -B i gael 2B.

$$3A+2B=6$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfrifo 3 i bŵer 2 a chael 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2A+B â 9.

$$18A+9B-B=42$$

Cyfuno 9B a -B i gael 8B.

$$18A+8B=42$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2\times 18}&-\frac{2}{3\times 8-2\times 18}\\-\frac{18}{3\times 8-2\times 18}&\frac{3}{3\times 8-2\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{6}\times 42\\\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 42\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics A a B.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi A+B â 3.

$$3A+3B-B=6$$

Cyfuno 3B a -B i gael 2B.

$$3A+2B=6$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfrifo 3 i bŵer 2 a chael 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2A+B â 9.

$$18A+9B-B=42$$

Cyfuno 9B a -B i gael 8B.

$$18A+8B=42$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

I wneud 3A a 18A yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 18 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$18\times 3A+18\times 2B=18\times 6,3\times 18A+3\times 8B=3\times 42$$

Symleiddio.

$$54A+36B=108,54A+24B=126$$

Tynnwch 54A+24B=126 o 54A+36B=108 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$54A-54A+36B-24B=108-126$$

Adio 54A at -54A. Mae'r termau 54A a -54A yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$36B-24B=108-126$$

Adio 36B at -24B.

$$12B=108-126$$

Adio 108 at -126.

$$12B=-18$$

Rhannu’r ddwy ochr â 12.

$$B=-\frac{3}{2}$$

Cyfnewidiwch -\frac{3}{2} am B yn 18A+8B=42. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer A yn uniongyrchol.

$$18A+8\left(-\frac{3}{2}\right)=42$$

Lluoswch 8 â -\frac{3}{2}.

$$18A-12=42$$

Adio 12 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$18A=54$$

Rhannu’r ddwy ochr â 18.

$$A=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$