Datrys {l}{text{(4)}(acosalpha,2acosalpha)}{text{f}y+b=m_{1}(x+a)text{and}y+b=m_{2}(x+a)text{are}}{text{wotangentstotheparabola}y^2=4ax,text{then}}{{llll}{text{(1)}m_{1}+m_{2}=0}&{text{(2)}m_{1}m_{2}=1}}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (4) } ( a \cos \alpha , 2 a \cos \alpha ) } \\ { \text { f } y + b = m _ { 1 } ( x + a ) \text { and } y + b = m _ { 2 } ( x + a ) \text { are } } \\ { \text { wo tangents to the parabola } y ^ { 2 } = 4 a x , \text { then } } \\ { \left. \begin{array} { l l l l } { \text { (1) } m _ { 1 } + m _ { 2 } = 0 } & { \text { (2) } m _ { 1 } m _ { 2 } = 1 } \end{array} \right. } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi m_{1} â x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Tynnu m_{1}x o'r ddwy ochr.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Tynnu b o'r ddwy ochr.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi m_{2} â x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Tynnu m_{2}x o'r ddwy ochr.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Tynnu b o'r ddwy ochr.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

Adio m_{1}x at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

Amnewid m_{1}x+am_{1}-b am y yn yr hafaliad arall, y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b.

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Adio m_{1}x at -m_{2}x.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

Tynnu am_{1}-b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

Rhannu’r ddwy ochr â m_{1}-m_{2}.

$$x=-a$$

Cyfnewidiwch -a am x yn y=m_{1}x+am_{1}-b. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

Lluoswch m_{1} â -a.

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

Adio am_{1}-b at -m_{1}a.

$$y=-b$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-b,x=-a$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi m_{1} â x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Tynnu m_{1}x o'r ddwy ochr.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Tynnu b o'r ddwy ochr.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi m_{2} â x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Tynnu m_{2}x o'r ddwy ochr.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Tynnu b o'r ddwy ochr.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=-b,x=-a$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi m_{1} â x+a.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

Tynnu m_{1}x o'r ddwy ochr.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

Tynnu b o'r ddwy ochr.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi m_{2} â x+a.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

Tynnu m_{2}x o'r ddwy ochr.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

Tynnu b o'r ddwy ochr.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

Tynnwch y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b o y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Adio -m_{1}x at m_{2}x.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

Adio am_{1}-b at -m_{2}a+b.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

Rhannu’r ddwy ochr â -m_{1}+m_{2}.

$$x=-a$$

Cyfnewidiwch -a am x yn y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

Lluoswch -m_{2} â -a.

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

Tynnu m_{2}a o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=-b$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-b,x=-a$$