Datrys {l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=12$$

$$y=15$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 15, lluoswm cyffredin lleiaf 3,5.

$$5x+3y=105$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 30, lluoswm cyffredin lleiaf 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

Lluosi -6 a 2 i gael -12.

$$5x-12y=-120$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+3y=105$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-3y+105$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -3y+105.

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

Amnewid -\frac{3y}{5}+21 am x yn yr hafaliad arall, 5x-12y=-120.

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

Lluoswch 5 â -\frac{3y}{5}+21.

$$-3y+105-12y=-120$$

Adio -3y at -12y.

$$-15y+105=-120$$

Tynnu 105 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-15y=-225$$

Rhannu’r ddwy ochr â -15.

$$y=15$$

Cyfnewidiwch 15 am y yn x=-\frac{3}{5}y+21. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

Lluoswch -\frac{3}{5} â 15.

$$x=-9+21$$

Adio 21 at -9.

$$x=12$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=12,y=15$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 15, lluoswm cyffredin lleiaf 3,5.

$$5x+3y=105$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 30, lluoswm cyffredin lleiaf 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

Lluosi -6 a 2 i gael -12.

$$5x-12y=-120$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=12,y=15$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 15, lluoswm cyffredin lleiaf 3,5.

$$5x+3y=105$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 30, lluoswm cyffredin lleiaf 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

Lluosi -6 a 2 i gael -12.

$$5x-12y=-120$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Tynnwch 5x-12y=-120 o 5x+3y=105 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

Adio 5x at -5x. Mae'r termau 5x a -5x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3y+12y=105+120$$

Adio 3y at 12y.

$$15y=105+120$$

Adio 105 at 120.

$$15y=225$$

Rhannu’r ddwy ochr â 15.

$$y=15$$

Cyfnewidiwch 15 am y yn 5x-12y=-120. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x-12\times 15=-120$$

Lluoswch -12 â 15.

$$5x-180=-120$$

Adio 180 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=60$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=12$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=12,y=15$$