Datrys {l}{x/2+y/3=1}{x/3+y/2=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1$$

Tynnu \frac{y}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+1$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+1\right)$$

Lluoswch 2 â -\frac{y}{3}+1.

$$x=-\frac{2}{3}y+2$$

Amnewid -\frac{2y}{3}+2 am x yn yr hafaliad arall, \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+2\right)+\frac{1}{2}y=1$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -\frac{2y}{3}+2.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}y=1$$

Adio -\frac{2y}{9} at \frac{y}{2}.

$$\frac{5}{18}y+\frac{2}{3}=1$$

Tynnu \frac{2}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{5}{18}y=\frac{1}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{5}{18}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{6}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{6}{5} am y yn x=-\frac{2}{3}y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{6}{5}+2$$

Lluoswch -\frac{2}{3} â \frac{6}{5} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{4}{5}+2$$

Adio 2 at -\frac{4}{5}.

$$x=\frac{6}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{6}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}&-\frac{12}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{18}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18-12}{5}\\\frac{-12+18}{5}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{6}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1$$

I wneud \frac{x}{2} a \frac{x}{3} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â \frac{1}{3} a holl dermau naill ochr yr ail â \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{3},\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{2}$$

Symleiddio.

$$\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=\frac{1}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{4}y=\frac{1}{2}$$

Tynnwch \frac{1}{6}x+\frac{1}{4}y=\frac{1}{2} o \frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=\frac{1}{3} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y-\frac{1}{4}y=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$$

Adio \frac{x}{6} at -\frac{x}{6}. Mae'r termau \frac{x}{6} a -\frac{x}{6} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\frac{1}{9}y-\frac{1}{4}y=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$$

Adio \frac{y}{9} at -\frac{y}{4}.

$$-\frac{5}{36}y=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$$

Adio \frac{1}{3} at -\frac{1}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$-\frac{5}{36}y=-\frac{1}{6}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{5}{36}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{6}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{6}{5} am y yn \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\times \frac{6}{5}=1$$

Lluoswch \frac{1}{2} â \frac{6}{5} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$\frac{1}{3}x+\frac{3}{5}=1$$

Tynnu \frac{3}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{3}x=\frac{2}{5}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{6}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{6}{5}$$