Datrys {l}{3/4x+1/4y=13/2}{x-3/4y=frac{13}{2}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 1 } { 4 } y = \frac { 13 } { 2 } } \\ { x - \frac { 3 } { 4 } y = \frac { 13 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=8$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2}$$

Tynnu \frac{y}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{3}{4}x=-\frac{1}{4}y+\frac{13}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{3}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{1}{4}y+\frac{13}{2}\right)$$

Lluoswch \frac{4}{3} â -\frac{y}{4}+\frac{13}{2}.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{26}{3}$$

Amnewid \frac{-y+26}{3} am x yn yr hafaliad arall, x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{26}{3}-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}$$

Adio -\frac{y}{3} at -\frac{3y}{4}.

$$-\frac{13}{12}y+\frac{26}{3}=\frac{13}{2}$$

Tynnu \frac{26}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{13}{12}y=-\frac{13}{6}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{13}{12}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=-\frac{1}{3}y+\frac{26}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{3}\times 2+\frac{26}{3}$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â 2.

$$x=\frac{-2+26}{3}$$

Adio \frac{26}{3} at -\frac{2}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=8$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=8,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}&-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}\\-\frac{1}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}&\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{13}&\frac{4}{13}\\\frac{16}{13}&-\frac{12}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{13}\times \frac{13}{2}+\frac{4}{13}\times \frac{13}{2}\\\frac{16}{13}\times \frac{13}{2}-\frac{12}{13}\times \frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=8,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}$$

I wneud \frac{3x}{4} a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â \frac{3}{4}.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)y=\frac{3}{4}\times \frac{13}{2}$$

Symleiddio.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},\frac{3}{4}x-\frac{9}{16}y=\frac{39}{8}$$

Tynnwch \frac{3}{4}x-\frac{9}{16}y=\frac{39}{8} o \frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y+\frac{9}{16}y=\frac{13}{2}-\frac{39}{8}$$

Adio \frac{3x}{4} at -\frac{3x}{4}. Mae'r termau \frac{3x}{4} a -\frac{3x}{4} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\frac{1}{4}y+\frac{9}{16}y=\frac{13}{2}-\frac{39}{8}$$

Adio \frac{y}{4} at \frac{9y}{16}.

$$\frac{13}{16}y=\frac{13}{2}-\frac{39}{8}$$

Adio \frac{13}{2} at -\frac{39}{8} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$\frac{13}{16}y=\frac{13}{8}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{13}{16}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-\frac{3}{4}\times 2=\frac{13}{2}$$

Lluoswch -\frac{3}{4} â 2.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{13}{2}$$

Adio \frac{3}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=8$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=8,y=2$$