Datrys {l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 50, lluoswm cyffredin lleiaf 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Lluosi 2 a 27 i gael 54.

$$54x+45y=50400$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$54x+45y=50400$$

Tynnu 45y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$54x=-45y+50400$$

Rhannu’r ddwy ochr â 54.

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

Lluoswch \frac{1}{54} â -45y+50400.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

Amnewid -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} am x yn yr hafaliad arall, \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

Lluoswch \frac{11}{10} â -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

Adio -\frac{11y}{12} at \frac{43y}{5}.

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

Tynnu \frac{3080}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{461}{60}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{80}{461}$$

Cyfnewidiwch \frac{80}{461} am y yn x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

Lluoswch -\frac{5}{6} â \frac{80}{461} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

Adio \frac{2800}{3} at -\frac{200}{1383} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{430200}{461}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 50, lluoswm cyffredin lleiaf 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Lluosi 2 a 27 i gael 54.

$$54x+45y=50400$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 50, lluoswm cyffredin lleiaf 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Lluosi 2 a 27 i gael 54.

$$54x+45y=50400$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

I wneud 54x a \frac{11x}{10} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â \frac{11}{10} a holl dermau naill ochr yr ail â 54.

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

Symleiddio.

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

Tynnwch \frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512 o \frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Adio \frac{297x}{5} at -\frac{297x}{5}. Mae'r termau \frac{297x}{5} a -\frac{297x}{5} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Adio \frac{99y}{2} at -\frac{2322y}{5}.

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

Adio 55440 at -55512.

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{4149}{10}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{80}{461}$$

Cyfnewidiwch \frac{80}{461} am y yn \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

Lluoswch \frac{43}{5} â \frac{80}{461} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

Tynnu \frac{688}{461} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{11}{10}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{430200}{461}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$