Datrys {l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=7$$

$$y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Cyfuno 8x a -3x i gael 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Cyfuno -4y a 6y i gael 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Tynnu 9 o 12 i gael 3.

$$5x+2y+3=48$$

Tynnu 3 o'r ddwy ochr.

$$5x+2y=48-3$$

Tynnu 3 o 48 i gael 45.

$$5x+2y=45$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Cyfuno 9x a 16x i gael 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Cyfuno -12y a -8y i gael -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Tynnu 36 o 9 i gael -27.

$$25x-20y-27=48$$

Ychwanegu 27 at y ddwy ochr.

$$25x-20y=48+27$$

Adio 48 a 27 i gael 75.

$$25x-20y=75$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+2y=45$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-2y+45$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -2y+45.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

Amnewid -\frac{2y}{5}+9 am x yn yr hafaliad arall, 25x-20y=75.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

Lluoswch 25 â -\frac{2y}{5}+9.

$$-10y+225-20y=75$$

Adio -10y at -20y.

$$-30y+225=75$$

Tynnu 225 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-30y=-150$$

Rhannu’r ddwy ochr â -30.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn x=-\frac{2}{5}y+9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

Lluoswch -\frac{2}{5} â 5.

$$x=-2+9$$

Adio 9 at -2.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Cyfuno 8x a -3x i gael 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Cyfuno -4y a 6y i gael 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Tynnu 9 o 12 i gael 3.

$$5x+2y+3=48$$

Tynnu 3 o'r ddwy ochr.

$$5x+2y=48-3$$

Tynnu 3 o 48 i gael 45.

$$5x+2y=45$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Cyfuno 9x a 16x i gael 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Cyfuno -12y a -8y i gael -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Tynnu 36 o 9 i gael -27.

$$25x-20y-27=48$$

Ychwanegu 27 at y ddwy ochr.

$$25x-20y=48+27$$

Adio 48 a 27 i gael 75.

$$25x-20y=75$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=7,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Cyfuno 8x a -3x i gael 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Cyfuno -4y a 6y i gael 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Tynnu 9 o 12 i gael 3.

$$5x+2y+3=48$$

Tynnu 3 o'r ddwy ochr.

$$5x+2y=48-3$$

Tynnu 3 o 48 i gael 45.

$$5x+2y=45$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Cyfuno 9x a 16x i gael 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Cyfuno -12y a -8y i gael -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Tynnu 36 o 9 i gael -27.

$$25x-20y-27=48$$

Ychwanegu 27 at y ddwy ochr.

$$25x-20y=48+27$$

Adio 48 a 27 i gael 75.

$$25x-20y=75$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

I wneud 5x a 25x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 25 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

Symleiddio.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

Tynnwch 125x-100y=375 o 125x+50y=1125 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

Adio 125x at -125x. Mae'r termau 125x a -125x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$50y+100y=1125-375$$

Adio 50y at 100y.

$$150y=1125-375$$

Adio 1125 at -375.

$$150y=750$$

Rhannu’r ddwy ochr â 150.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn 25x-20y=75. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$25x-20\times 5=75$$

Lluoswch -20 â 5.

$$25x-100=75$$

Adio 100 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$25x=175$$

Rhannu’r ddwy ochr â 25.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=5$$