Datrys {l}{2x+3/3y-2=1}{x(2y-5)-2y(x+3)=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 3 } { 3 y - 2 } = 1 } \\ { x ( 2 y - 5 ) - 2 y ( x + 3 ) = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-1$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. All y newidyn y ddim fod yn hafal i \frac{2}{3} gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$2x+3-3y=-2$$

Tynnu 3 o'r ddwy ochr.

$$2x-3y=-2-3$$

Tynnu 3 o -2 i gael -5.

$$2x-3y=-5$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x â 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2y â x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Cyfuno 2xy a -2yx i gael 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

Cyfuno -5x a -2x i gael -7x.

$$-7x-6y=1$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-3y=-5$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=3y-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Amnewid \frac{3y-5}{2} am x yn yr hafaliad arall, -7x-6y=1.

$$-7\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-6y=1$$

Lluoswch -7 â \frac{3y-5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-6y=1$$

Adio -\frac{21y}{2} at -6y.

$$-\frac{33}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

Tynnu \frac{35}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{33}{2}y=-\frac{33}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{33}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3-5}{2}$$

Adio -\frac{5}{2} at \frac{3}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. All y newidyn y ddim fod yn hafal i \frac{2}{3} gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$2x+3-3y=-2$$

Tynnu 3 o'r ddwy ochr.

$$2x-3y=-2-3$$

Tynnu 3 o -2 i gael -5.

$$2x-3y=-5$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x â 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2y â x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Cyfuno 2xy a -2yx i gael 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

Cyfuno -5x a -2x i gael -7x.

$$-7x-6y=1$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}\left(-5\right)-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-1,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. All y newidyn y ddim fod yn hafal i \frac{2}{3} gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$2x+3-3y=-2$$

Tynnu 3 o'r ddwy ochr.

$$2x-3y=-2-3$$

Tynnu 3 o -2 i gael -5.

$$2x-3y=-5$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x â 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2y â x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Cyfuno 2xy a -2yx i gael 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

Cyfuno -5x a -2x i gael -7x.

$$-7x-6y=1$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

I wneud 2x a -7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -7 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$-7\times 2x-7\left(-3\right)y=-7\left(-5\right),2\left(-7\right)x+2\left(-6\right)y=2$$

Symleiddio.

$$-14x+21y=35,-14x-12y=2$$

Tynnwch -14x-12y=2 o -14x+21y=35 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-14x+14x+21y+12y=35-2$$

Adio -14x at 14x. Mae'r termau -14x a 14x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$21y+12y=35-2$$

Adio 21y at 12y.

$$33y=35-2$$

Adio 35 at -2.

$$33y=33$$

Rhannu’r ddwy ochr â 33.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn -7x-6y=1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-7x-6=1$$

Adio 6 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-7x=7$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=1$$