Datrys {l}{2/3x+1/7y=9}{1/3x-5/7y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 7 } y = 9 } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 5 } { 7 } y = - 12 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=9$$

$$y=21$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9$$

Tynnu \frac{y}{7} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{1}{7}y+9$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{2}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{7}y+9\right)$$

Lluoswch \frac{3}{2} â -\frac{y}{7}+9.

$$x=-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2}$$

Amnewid -\frac{3y}{14}+\frac{27}{2} am x yn yr hafaliad arall, \frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2}\right)-\frac{5}{7}y=-12$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -\frac{3y}{14}+\frac{27}{2}.

$$-\frac{1}{14}y+\frac{9}{2}-\frac{5}{7}y=-12$$

Adio -\frac{y}{14} at -\frac{5y}{7}.

$$-\frac{11}{14}y+\frac{9}{2}=-12$$

Tynnu \frac{9}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{11}{14}y=-\frac{33}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{11}{14}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=21$$

Cyfnewidiwch 21 am y yn x=-\frac{3}{14}y+\frac{27}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{14}\times 21+\frac{27}{2}$$

Lluoswch -\frac{3}{14} â 21.

$$x=\frac{-9+27}{2}$$

Adio \frac{27}{2} at -\frac{9}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=21$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{5}{7}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{7}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)-\frac{1}{7}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{7}{11}&-\frac{14}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{11}\times 9+\frac{3}{11}\left(-12\right)\\\frac{7}{11}\times 9-\frac{14}{11}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=9,y=21$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{7}y=9,\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12$$

I wneud \frac{2x}{3} a \frac{x}{3} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â \frac{1}{3} a holl dermau naill ochr yr ail â \frac{2}{3}.

$$\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{7}y=\frac{1}{3}\times 9,\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\left(-\frac{5}{7}\right)y=\frac{2}{3}\left(-12\right)$$

Symleiddio.

$$\frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y=3,\frac{2}{9}x-\frac{10}{21}y=-8$$

Tynnwch \frac{2}{9}x-\frac{10}{21}y=-8 o \frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y=3 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{2}{9}x-\frac{2}{9}x+\frac{1}{21}y+\frac{10}{21}y=3+8$$

Adio \frac{2x}{9} at -\frac{2x}{9}. Mae'r termau \frac{2x}{9} a -\frac{2x}{9} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\frac{1}{21}y+\frac{10}{21}y=3+8$$

Adio \frac{y}{21} at \frac{10y}{21}.

$$\frac{11}{21}y=3+8$$

Adio 3 at 8.

$$\frac{11}{21}y=11$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{11}{21}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=21$$

Cyfnewidiwch 21 am y yn \frac{1}{3}x-\frac{5}{7}y=-12. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$\frac{1}{3}x-\frac{5}{7}\times 21=-12$$

Lluoswch -\frac{5}{7} â 21.

$$\frac{1}{3}x-15=-12$$

Adio 15 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{3}x=3$$

Lluosi’r ddwy ochr â 3.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=21$$