Datrys {c}{x+y=9}{3x+2y=22}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 9 } \\ { 3 x + 2 y = 22 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=9,3x+2y=22$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=9$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+9$$

Amnewid -y+9 am x yn yr hafaliad arall, 3x+2y=22.

$$3\left(-y+9\right)+2y=22$$

Lluoswch 3 â -y+9.

$$-3y+27+2y=22$$

Adio -3y at 2y.

$$-y+27=22$$

Tynnu 27 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-y=-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn x=-y+9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-5+9$$

Adio 9 at -5.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=9,3x+2y=22$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\22\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\22\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\22\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\22\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{1}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\22\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\22\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 9+22\\3\times 9-22\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=9,3x+2y=22$$

I wneud x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$3x+3y=3\times 9,3x+2y=22$$

Symleiddio.

$$3x+3y=27,3x+2y=22$$

Tynnwch 3x+2y=22 o 3x+3y=27 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-3x+3y-2y=27-22$$

Adio 3x at -3x. Mae'r termau 3x a -3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3y-2y=27-22$$

Adio 3y at -2y.

$$y=27-22$$

Adio 27 at -22.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn 3x+2y=22. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+2\times 5=22$$

Lluoswch 2 â 5.

$$3x+10=22$$

Tynnu 10 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=5$$