Datrys {c}{3x+4y=10}{x=2y}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 4 y = 10 } \\ { x = 2 y } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$x-2y=0$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+4y=10,x-2y=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+4y=10$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-4y+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -4y+10.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}$$

Amnewid \frac{-4y+10}{3} am x yn yr hafaliad arall, x-2y=0.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-2y=0$$

Adio -\frac{4y}{3} at -2y.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{10}{3}=0$$

Tynnu \frac{10}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{10}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{10}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{-4+10}{3}$$

Adio \frac{10}{3} at -\frac{4}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$x-2y=0$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+4y=10,x-2y=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{3\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-4}&\frac{3}{3\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10\\\frac{1}{10}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$x-2y=0$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+4y=10,x-2y=0$$

I wneud 3x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$3x+4y=10,3x+3\left(-2\right)y=0$$

Symleiddio.

$$3x+4y=10,3x-6y=0$$

Tynnwch 3x-6y=0 o 3x+4y=10 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-3x+4y+6y=10$$

Adio 3x at -3x. Mae'r termau 3x a -3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y+6y=10$$

Adio 4y at 6y.

$$10y=10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 10.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x-2y=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-2=0$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=1$$