Datrys {c}{2x+4y=1}{5x-y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{9}{22}\approx 0.409090909$$

$$y=\frac{1}{22}\approx 0.045454545$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+4y=1$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-4y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -4y+1.

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

Amnewid -2y+\frac{1}{2} am x yn yr hafaliad arall, 5x-y=2.

$$5\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-y=2$$

Lluoswch 5 â -2y+\frac{1}{2}.

$$-10y+\frac{5}{2}-y=2$$

Adio -10y at -y.

$$-11y+\frac{5}{2}=2$$

Tynnu \frac{5}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-11y=-\frac{1}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -11.

$$y=\frac{1}{22}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{22} am y yn x=-2y+\frac{1}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\times \frac{1}{22}+\frac{1}{2}$$

Lluoswch -2 â \frac{1}{22}.

$$x=-\frac{1}{11}+\frac{1}{2}$$

Adio \frac{1}{2} at -\frac{1}{11} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{9}{22}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-1\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}+\frac{2}{11}\times 2\\\frac{5}{22}-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{22}\\\frac{1}{22}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

I wneud 2x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Symleiddio.

$$10x+20y=5,10x-2y=4$$

Tynnwch 10x-2y=4 o 10x+20y=5 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10x-10x+20y+2y=5-4$$

Adio 10x at -10x. Mae'r termau 10x a -10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$20y+2y=5-4$$

Adio 20y at 2y.

$$22y=5-4$$

Adio 5 at -4.

$$22y=1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 22.

$$y=\frac{1}{22}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{22} am y yn 5x-y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x-\frac{1}{22}=2$$

Adio \frac{1}{22} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=\frac{45}{22}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{9}{22}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$