Datrys {c}{2x+2y=4}{-2x+3y=-9}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 2 y = 4 } \\ { - 2 x + 3 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+2y=4$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-2y+4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+4\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -2y+4.

$$x=-y+2$$

Amnewid -y+2 am x yn yr hafaliad arall, -2x+3y=-9.

$$-2\left(-y+2\right)+3y=-9$$

Lluoswch -2 â -y+2.

$$2y-4+3y=-9$$

Adio 2y at 3y.

$$5y-4=-9$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5y=-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn x=-y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\left(-1\right)+2$$

Lluoswch -1 â -1.

$$x=1+2$$

Adio 2 at 1.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{2\times 3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-2\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4-\frac{1}{5}\left(-9\right)\\\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

I wneud 2x a -2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -2 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$-2\times 2x-2\times 2y=-2\times 4,2\left(-2\right)x+2\times 3y=2\left(-9\right)$$

Symleiddio.

$$-4x-4y=-8,-4x+6y=-18$$

Tynnwch -4x+6y=-18 o -4x-4y=-8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-4x+4x-4y-6y=-8+18$$

Adio -4x at 4x. Mae'r termau -4x a 4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-4y-6y=-8+18$$

Adio -4y at -6y.

$$-10y=-8+18$$

Adio -8 at 18.

$$-10y=10$$

Rhannu’r ddwy ochr â -10.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn -2x+3y=-9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-2x+3\left(-1\right)=-9$$

Lluoswch 3 â -1.

$$-2x-3=-9$$

Adio 3 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=-1$$