Datrys {r}{x+4y=-6}{4x+5y=9}

$$\left\{ \begin{array} { r } { x + 4 y = - 6 } \\ { 4 x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=6$$

$$y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+4y=-6,4x+5y=9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+4y=-6$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-4y-6$$

Amnewid -4y-6 am x yn yr hafaliad arall, 4x+5y=9.

$$4\left(-4y-6\right)+5y=9$$

Lluoswch 4 â -4y-6.

$$-16y-24+5y=9$$

Adio -16y at 5y.

$$-11y-24=9$$

Adio 24 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-11y=33$$

Rhannu’r ddwy ochr â -11.

$$y=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am y yn x=-4y-6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-4\left(-3\right)-6$$

Lluoswch -4 â -3.

$$x=12-6$$

Adio -6 at 12.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+4y=-6,4x+5y=9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4\times 4}&-\frac{4}{5-4\times 4}\\-\frac{4}{5-4\times 4}&\frac{1}{5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\left(-6\right)+\frac{4}{11}\times 9\\\frac{4}{11}\left(-6\right)-\frac{1}{11}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=6,y=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+4y=-6,4x+5y=9$$

I wneud x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$4x+4\times 4y=4\left(-6\right),4x+5y=9$$

Symleiddio.

$$4x+16y=-24,4x+5y=9$$

Tynnwch 4x+5y=9 o 4x+16y=-24 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4x-4x+16y-5y=-24-9$$

Adio 4x at -4x. Mae'r termau 4x a -4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$16y-5y=-24-9$$

Adio 16y at -5y.

$$11y=-24-9$$

Adio -24 at -9.

$$11y=-33$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$y=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am y yn 4x+5y=9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+5\left(-3\right)=9$$

Lluoswch 5 â -3.

$$4x-15=9$$

Adio 15 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=24$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=-3$$