Datrys {l}{x-y=5}{5x-8y=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 5 } \\ { 5 x - 8 y = 19 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=7$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-y=5,5x-8y=19$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-y=5$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=y+5$$

Amnewid y+5 am x yn yr hafaliad arall, 5x-8y=19.

$$5\left(y+5\right)-8y=19$$

Lluoswch 5 â y+5.

$$5y+25-8y=19$$

Adio 5y at -8y.

$$-3y+25=19$$

Tynnu 25 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3y=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=y+5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=2+5$$

Adio 5 at 2.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-y=5,5x-8y=19$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{-8-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{-8-\left(-5\right)}&\frac{1}{-8-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{5}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 19\\\frac{5}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=7,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-y=5,5x-8y=19$$

I wneud x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$5x+5\left(-1\right)y=5\times 5,5x-8y=19$$

Symleiddio.

$$5x-5y=25,5x-8y=19$$

Tynnwch 5x-8y=19 o 5x-5y=25 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5x-5x-5y+8y=25-19$$

Adio 5x at -5x. Mae'r termau 5x a -5x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-5y+8y=25-19$$

Adio -5y at 8y.

$$3y=25-19$$

Adio 25 at -19.

$$3y=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn 5x-8y=19. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x-8\times 2=19$$

Lluoswch -8 â 2.

$$5x-16=19$$

Adio 16 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=35$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=2$$