Datrys {l}{x=3y+4}{y=1/2x-8/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y + 4 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 8 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=8$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$x-3y=4$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{1}{2}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-3y=4$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=3y+4$$

Amnewid 3y+4 am x yn yr hafaliad arall, -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}.

$$-\frac{1}{2}\left(3y+4\right)+y=-\frac{8}{3}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â 3y+4.

$$-\frac{3}{2}y-2+y=-\frac{8}{3}$$

Adio -\frac{3y}{2} at y.

$$-\frac{1}{2}y-2=-\frac{8}{3}$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{3}$$

Lluosi’r ddwy ochr â -2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{4}{3} am y yn x=3y+4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=3\times \frac{4}{3}+4$$

Lluoswch 3 â \frac{4}{3}.

$$x=4+4$$

Adio 4 at 4.

$$x=8$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$x-3y=4$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{1}{2}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-6\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-6\left(-\frac{8}{3}\right)\\-4-2\left(-\frac{8}{3}\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$x-3y=4$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{1}{2}x o'r ddwy ochr.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

I wneud x a -\frac{x}{2} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -\frac{1}{2} a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\left(-3\right)y=-\frac{1}{2}\times 4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Symleiddio.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Tynnwch -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3} o -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

Adio -\frac{x}{2} at \frac{x}{2}. Mae'r termau -\frac{x}{2} a \frac{x}{2} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

Adio \frac{3y}{2} at -y.

$$\frac{1}{2}y=-2+\frac{8}{3}$$

Adio -2 at \frac{8}{3}.

$$\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{4}{3} am y yn -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

Tynnu \frac{4}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{1}{2}x=-4$$

Lluosi’r ddwy ochr â -2.

$$x=8$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$