Datrys {l}{x+y=9}{3(x+y)+2x=33}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 9 } \\ { 3 ( x + y ) + 2 x = 33 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+y.

$$3x+3y+2x=33$$

Cyfuno 3x a 2x i gael 5x.

$$5x+3y=33$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=9,5x+3y=33$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=9$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+9$$

Amnewid -y+9 am x yn yr hafaliad arall, 5x+3y=33.

$$5\left(-y+9\right)+3y=33$$

Lluoswch 5 â -y+9.

$$-5y+45+3y=33$$

Adio -5y at 3y.

$$-2y+45=33$$

Tynnu 45 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2y=-12$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$y=6$$

Cyfnewidiwch 6 am y yn x=-y+9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-6+9$$

Adio 9 at -6.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+y.

$$3x+3y+2x=33$$

Cyfuno 3x a 2x i gael 5x.

$$5x+3y=33$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=9,5x+3y=33$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\33\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\33\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\33\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\33\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-5}&-\frac{1}{3-5}\\-\frac{5}{3-5}&\frac{1}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\33\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\33\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\times 9+\frac{1}{2}\times 33\\\frac{5}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 33\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+y.

$$3x+3y+2x=33$$

Cyfuno 3x a 2x i gael 5x.

$$5x+3y=33$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=9,5x+3y=33$$

I wneud x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$5x+5y=5\times 9,5x+3y=33$$

Symleiddio.

$$5x+5y=45,5x+3y=33$$

Tynnwch 5x+3y=33 o 5x+5y=45 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5x-5x+5y-3y=45-33$$

Adio 5x at -5x. Mae'r termau 5x a -5x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$5y-3y=45-33$$

Adio 5y at -3y.

$$2y=45-33$$

Adio 45 at -33.

$$2y=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=6$$

Cyfnewidiwch 6 am y yn 5x+3y=33. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x+3\times 6=33$$

Lluoswch 3 â 6.

$$5x+18=33$$

Tynnu 18 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=6$$