Datrys {l}{x+y=4}{4x-3y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 4 } \\ { 4 x - 3 y = - 19 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-1$$

$$y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=4,4x-3y=-19$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=4$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+4$$

Amnewid -y+4 am x yn yr hafaliad arall, 4x-3y=-19.

$$4\left(-y+4\right)-3y=-19$$

Lluoswch 4 â -y+4.

$$-4y+16-3y=-19$$

Adio -4y at -3y.

$$-7y+16=-19$$

Tynnu 16 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-7y=-35$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn x=-y+4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-5+4$$

Adio 4 at -5.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=4,4x-3y=-19$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-4}&-\frac{1}{-3-4}\\-\frac{4}{-3-4}&\frac{1}{-3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-19\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 4+\frac{1}{7}\left(-19\right)\\\frac{4}{7}\times 4-\frac{1}{7}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-1,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=4,4x-3y=-19$$

I wneud x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$4x+4y=4\times 4,4x-3y=-19$$

Symleiddio.

$$4x+4y=16,4x-3y=-19$$

Tynnwch 4x-3y=-19 o 4x+4y=16 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4x-4x+4y+3y=16+19$$

Adio 4x at -4x. Mae'r termau 4x a -4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y+3y=16+19$$

Adio 4y at 3y.

$$7y=16+19$$

Adio 16 at 19.

$$7y=35$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn 4x-3y=-19. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x-3\times 5=-19$$

Lluoswch -3 â 5.

$$4x-15=-19$$

Adio 15 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=5$$