Datrys {l}{x+y=36}{5/7=x/y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 36 } \\ { \frac { 5 } { 7 } = \frac { x } { y } } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=15$$

$$y=21$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. All y newidyn y ddim fod yn hafal i 0 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 7y, lluoswm cyffredin lleiaf 7,y.

$$5y=7x$$

Tynnu 7x o'r ddwy ochr.

$$5y-7x=0$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=36$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+36$$

Amnewid -y+36 am x yn yr hafaliad arall, -7x+5y=0.

$$-7\left(-y+36\right)+5y=0$$

Lluoswch -7 â -y+36.

$$7y-252+5y=0$$

Adio 7y at 5y.

$$12y-252=0$$

Adio 252 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$12y=252$$

Rhannu’r ddwy ochr â 12.

$$y=21$$

Cyfnewidiwch 21 am y yn x=-y+36. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-21+36$$

Adio 36 at -21.

$$x=15$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=15,y=21$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. All y newidyn y ddim fod yn hafal i 0 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 7y, lluoswm cyffredin lleiaf 7,y.

$$5y=7x$$

Tynnu 7x o'r ddwy ochr.

$$5y-7x=0$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-7\right)}&-\frac{1}{5-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{5-\left(-7\right)}&\frac{1}{5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 36\\\frac{7}{12}\times 36\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\21\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=15,y=21$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. All y newidyn y ddim fod yn hafal i 0 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 7y, lluoswm cyffredin lleiaf 7,y.

$$5y=7x$$

Tynnu 7x o'r ddwy ochr.

$$5y-7x=0$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

I wneud x a -7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -7 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-7x-7y=-7\times 36,-7x+5y=0$$

Symleiddio.

$$-7x-7y=-252,-7x+5y=0$$

Tynnwch -7x+5y=0 o -7x-7y=-252 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-7x+7x-7y-5y=-252$$

Adio -7x at 7x. Mae'r termau -7x a 7x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-7y-5y=-252$$

Adio -7y at -5y.

$$-12y=-252$$

Rhannu’r ddwy ochr â -12.

$$y=21$$

Cyfnewidiwch 21 am y yn -7x+5y=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-7x+5\times 21=0$$

Lluoswch 5 â 21.

$$-7x+105=0$$

Tynnu 105 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-7x=-105$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$x=15$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=15,y=21$$