Datrys {l}{x+y=32}{y+7=x+7+20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 32 } \\ { y + 7 = x + 7 + 20 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=6$$

$$y=26$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Adio 7 a 20 i gael 27.

$$y+7=x+27$$

Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$y+7-x=27$$

Tynnu 7 o'r ddwy ochr.

$$y-x=27-7$$

Tynnu 7 o 27 i gael 20.

$$y-x=20$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=32,-x+y=20$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=32$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+32$$

Amnewid -y+32 am x yn yr hafaliad arall, -x+y=20.

$$-\left(-y+32\right)+y=20$$

Lluoswch -1 â -y+32.

$$y-32+y=20$$

Adio y at y.

$$2y-32=20$$

Adio 32 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=52$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=26$$

Cyfnewidiwch 26 am y yn x=-y+32. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-26+32$$

Adio 32 at -26.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=26$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Adio 7 a 20 i gael 27.

$$y+7=x+27$$

Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$y+7-x=27$$

Tynnu 7 o'r ddwy ochr.

$$y-x=27-7$$

Tynnu 7 o 27 i gael 20.

$$y-x=20$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=32,-x+y=20$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\20\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\20\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\20\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\20\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\20\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\20\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 32-\frac{1}{2}\times 20\\\frac{1}{2}\times 32+\frac{1}{2}\times 20\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=6,y=26$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Adio 7 a 20 i gael 27.

$$y+7=x+27$$

Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$y+7-x=27$$

Tynnu 7 o'r ddwy ochr.

$$y-x=27-7$$

Tynnu 7 o 27 i gael 20.

$$y-x=20$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=32,-x+y=20$$

Tynnwch -x+y=20 o x+y=32 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$x+x+y-y=32-20$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$x+x=32-20$$

Adio x at x.

$$2x=32-20$$

Adio 32 at -20.

$$2x=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=6$$

Cyfnewidiwch 6 am x yn -x+y=20. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$-6+y=20$$

Adio 6 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=26$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=26$$