Datrys {l}{x+2y=5900}{2x+2y=9400}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 5900 } \\ { 2 x + 2 y = 9400 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3500$$

$$y=1200$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+2y=5900,2x+2y=9400$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+2y=5900$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-2y+5900$$

Amnewid -2y+5900 am x yn yr hafaliad arall, 2x+2y=9400.

$$2\left(-2y+5900\right)+2y=9400$$

Lluoswch 2 â -2y+5900.

$$-4y+11800+2y=9400$$

Adio -4y at 2y.

$$-2y+11800=9400$$

Tynnu 11800 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2y=-2400$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$y=1200$$

Cyfnewidiwch 1200 am y yn x=-2y+5900. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\times 1200+5900$$

Lluoswch -2 â 1200.

$$x=-2400+5900$$

Adio 5900 at -2400.

$$x=3500$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3500,y=1200$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+2y=5900,2x+2y=9400$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-2\times 2}&-\frac{2}{2-2\times 2}\\-\frac{2}{2-2\times 2}&\frac{1}{2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5900\\9400\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5900+9400\\5900-\frac{1}{2}\times 9400\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3500\\1200\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3500,y=1200$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+2y=5900,2x+2y=9400$$

Tynnwch 2x+2y=9400 o x+2y=5900 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$x-2x+2y-2y=5900-9400$$

Adio 2y at -2y. Mae'r termau 2y a -2y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$x-2x=5900-9400$$

Adio x at -2x.

$$-x=5900-9400$$

Adio 5900 at -9400.

$$-x=-3500$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=3500$$

Cyfnewidiwch 3500 am x yn 2x+2y=9400. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$2\times 3500+2y=9400$$

Lluoswch 2 â 3500.

$$7000+2y=9400$$

Tynnu 7000 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=2400$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=1200$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3500,y=1200$$