Datrys {l}{rx-ry=1}{rx-9y=r}

$$\left\{ \begin{array} { l } { r x - r y = 1 } \\ { r x - 9 y = r } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

$$y=-\frac{1-r}{r-9}$$

$$r\neq 9\text{ and }r\neq 0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$rx+\left(-r\right)y=1$$

Adio ry at ddwy ochr yr hafaliad.

$$rx=ry+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â r.

$$x=\frac{1}{r}\left(ry+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{r} â ry+1.

$$x=y+\frac{1}{r}$$

Amnewid y+\frac{1}{r} am x yn yr hafaliad arall, rx-9y=r.

$$r\left(y+\frac{1}{r}\right)-9y=r$$

Lluoswch r â y+\frac{1}{r}.

$$ry+1-9y=r$$

Adio ry at -9y.

$$\left(r-9\right)y+1=r$$

Tynnu 1 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(r-9\right)y=r-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â r-9.

$$y=\frac{r-1}{r-9}$$

Cyfnewidiwch \frac{r-1}{r-9} am y yn x=y+\frac{1}{r}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{r-1}{r-9}+\frac{1}{r}$$

Adio \frac{1}{r} at \frac{r-1}{r-9}.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&-\frac{-r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\\-\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}&\frac{1}{r-9}\\-\frac{1}{r-9}&\frac{1}{r-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}+\frac{1}{r-9}r\\-\frac{1}{r-9}+\frac{1}{r-9}r\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}\\\frac{r-1}{r-9}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Tynnwch rx-9y=r o rx+\left(-r\right)y=1 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$rx+\left(-r\right)x+\left(-r\right)y+9y=1-r$$

Adio rx at -rx. Mae'r termau rx a -rx yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\left(-r\right)y+9y=1-r$$

Adio -ry at 9y.

$$\left(9-r\right)y=1-r$$

Rhannu’r ddwy ochr â -r+9.

$$y=\frac{1-r}{9-r}$$

Cyfnewidiwch \frac{1-r}{-r+9} am y yn rx-9y=r. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$rx-9\times \frac{1-r}{9-r}=r$$

Lluoswch -9 â \frac{1-r}{-r+9}.

$$rx-\frac{9\left(1-r\right)}{9-r}=r$$

Adio \frac{9\left(1-r\right)}{-r+9} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$rx=-\frac{\left(r-3\right)\left(r+3\right)}{9-r}$$

Rhannu’r ddwy ochr â r.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)},y=\frac{1-r}{9-r}$$