Datrys {l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y (complex solution)

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$a\neq ib\text{ and }a\neq -ib$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

Tynnu 8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

Adio by at ddwy ochr yr hafaliad.

$$ax=by-8$$

Rhannu’r ddwy ochr â a.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

Lluoswch \frac{1}{a} â by-8.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

Amnewid \frac{by-8}{a} am x yn yr hafaliad arall, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

Lluoswch b â \frac{by-8}{a}.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

Adio \frac{b^{2}y}{a} at ay.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

Adio -\frac{8b}{a} at 1.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

Tynnu \frac{a-8b}{a} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â a+\frac{b^{2}}{a}.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Cyfnewidiwch \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} am y yn x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

Lluoswch \frac{b}{a} â \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

Adio -\frac{8}{a} at \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

I wneud ax a bx yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â b a holl dermau naill ochr yr ail â a.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

Symleiddio.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

Tynnwch abx+a^{2}y+a=0 o abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Adio bax at -bax. Mae'r termau bax a -bax yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Adio -b^{2}y at -a^{2}y.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

Tynnu 8b-a o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

Rhannu’r ddwy ochr â -b^{2}-a^{2}.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

Cyfnewidiwch -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} am y yn bx+ay+1=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

Lluoswch a â -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

Adio -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} at 1.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

Tynnu \frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

Rhannu’r ddwy ochr â b.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

Tynnu 8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

Adio by at ddwy ochr yr hafaliad.

$$ax=by-8$$

Rhannu’r ddwy ochr â a.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

Lluoswch \frac{1}{a} â by-8.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

Amnewid \frac{by-8}{a} am x yn yr hafaliad arall, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

Lluoswch b â \frac{by-8}{a}.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

Adio \frac{b^{2}y}{a} at ay.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

Adio -\frac{8b}{a} at 1.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

Tynnu \frac{a-8b}{a} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â a+\frac{b^{2}}{a}.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Cyfnewidiwch \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} am y yn x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

Lluoswch \frac{b}{a} â \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

Adio -\frac{8}{a} at \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

I wneud ax a bx yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â b a holl dermau naill ochr yr ail â a.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

Symleiddio.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

Tynnwch abx+a^{2}y+a=0 o abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Adio bax at -bax. Mae'r termau bax a -bax yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Adio -b^{2}y at -a^{2}y.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

Tynnu 8b-a o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

Rhannu’r ddwy ochr â -b^{2}-a^{2}.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

Cyfnewidiwch -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} am y yn bx+ay+1=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

Lluoswch a â -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

Adio -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} at 1.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

Tynnu \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

Rhannu’r ddwy ochr â b.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$