Datrys {l}{78x+40y=1280}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3} \approx -6.666666667$$

$$y=45$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$78x+40y=1280$$

Tynnu 40y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$78x=-40y+1280$$

Rhannu’r ddwy ochr â 78.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

Lluoswch \frac{1}{78} â -40y+1280.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

Amnewid \frac{-20y+640}{39} am x yn yr hafaliad arall, 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+80y=2800$$

Lluoswch 120 â \frac{-20y+640}{39}.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+80y=2800$$

Adio -\frac{800y}{13} at 80y.

$$\frac{240}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

Tynnu \frac{25600}{13} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{240}{13}y=\frac{10800}{13}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{240}{13}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=45$$

Cyfnewidiwch 45 am y yn x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{20}{39}\times 45+\frac{640}{39}$$

Lluoswch -\frac{20}{39} â 45.

$$x=-\frac{300}{13}+\frac{640}{39}$$

Adio \frac{640}{39} at -\frac{300}{13} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{20}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{78\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 80-40\times 120}&\frac{78}{78\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&-\frac{1}{36}\\-\frac{1}{12}&\frac{13}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 1280-\frac{1}{36}\times 2800\\-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{13}{240}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\\45\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

I wneud 78x a 120x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 120 a holl dermau naill ochr yr ail â 78.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 80y=78\times 2800$$

Symleiddio.

$$9360x+4800y=153600,9360x+6240y=218400$$

Tynnwch 9360x+6240y=218400 o 9360x+4800y=153600 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$9360x-9360x+4800y-6240y=153600-218400$$

Adio 9360x at -9360x. Mae'r termau 9360x a -9360x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4800y-6240y=153600-218400$$

Adio 4800y at -6240y.

$$-1440y=153600-218400$$

Adio 153600 at -218400.

$$-1440y=-64800$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1440.

$$y=45$$

Cyfnewidiwch 45 am y yn 120x+80y=2800. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$120x+80\times 45=2800$$

Lluoswch 80 â 45.

$$120x+3600=2800$$

Tynnu 3600 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$120x=-800$$

Rhannu’r ddwy ochr â 120.

$$x=-\frac{20}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$