Datrys {l}{5x+2y=24}{y=x-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 24 } \\ { y = x - 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$y-x=-2$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+2y=24$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-2y+24$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+24\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -2y+24.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}$$

Amnewid \frac{-2y+24}{5} am x yn yr hafaliad arall, -x+y=-2.

$$-\left(-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}\right)+y=-2$$

Lluoswch -1 â \frac{-2y+24}{5}.

$$\frac{2}{5}y-\frac{24}{5}+y=-2$$

Adio \frac{2y}{5} at y.

$$\frac{7}{5}y-\frac{24}{5}=-2$$

Adio \frac{24}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{7}{5}y=\frac{14}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{7}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{5}\times 2+\frac{24}{5}$$

Lluoswch -\frac{2}{5} â 2.

$$x=\frac{-4+24}{5}$$

Adio \frac{24}{5} at -\frac{4}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$y-x=-2$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{5-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-2\left(-1\right)}&\frac{5}{5-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 24-\frac{2}{7}\left(-2\right)\\\frac{1}{7}\times 24+\frac{5}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$y-x=-2$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

I wneud 5x a -x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$-5x-2y=-24,5\left(-1\right)x+5y=5\left(-2\right)$$

Symleiddio.

$$-5x-2y=-24,-5x+5y=-10$$

Tynnwch -5x+5y=-10 o -5x-2y=-24 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-5x+5x-2y-5y=-24+10$$

Adio -5x at 5x. Mae'r termau -5x a 5x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-2y-5y=-24+10$$

Adio -2y at -5y.

$$-7y=-24+10$$

Adio -24 at 10.

$$-7y=-14$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn -x+y=-2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-x+2=-2$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=-4$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=2$$