Datrys {l}{5x+10y=-70}{-8x+30y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 10 y = - 70 } \\ { - 8 x + 30 y = 20 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-10$$

$$y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+10y=-70$$

Tynnu 10y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-10y-70$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-10y-70\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -10y-70.

$$x=-2y-14$$

Amnewid -2y-14 am x yn yr hafaliad arall, -8x+30y=20.

$$-8\left(-2y-14\right)+30y=20$$

Lluoswch -8 â -2y-14.

$$16y+112+30y=20$$

Adio 16y at 30y.

$$46y+112=20$$

Tynnu 112 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$46y=-92$$

Rhannu’r ddwy ochr â 46.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x=-2y-14. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\left(-2\right)-14$$

Lluoswch -2 â -2.

$$x=4-14$$

Adio -14 at 4.

$$x=-10$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-10,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{5\times 30-10\left(-8\right)}&-\frac{10}{5\times 30-10\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{5\times 30-10\left(-8\right)}&\frac{5}{5\times 30-10\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{4}{115}&\frac{1}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\left(-70\right)-\frac{1}{23}\times 20\\\frac{4}{115}\left(-70\right)+\frac{1}{46}\times 20\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-10,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

I wneud 5x a -8x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -8 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$-8\times 5x-8\times 10y=-8\left(-70\right),5\left(-8\right)x+5\times 30y=5\times 20$$

Symleiddio.

$$-40x-80y=560,-40x+150y=100$$

Tynnwch -40x+150y=100 o -40x-80y=560 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-40x+40x-80y-150y=560-100$$

Adio -40x at 40x. Mae'r termau -40x a 40x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-80y-150y=560-100$$

Adio -80y at -150y.

$$-230y=560-100$$

Adio 560 at -100.

$$-230y=460$$

Rhannu’r ddwy ochr â -230.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn -8x+30y=20. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-8x+30\left(-2\right)=20$$

Lluoswch 30 â -2.

$$-8x-60=20$$

Adio 60 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-8x=80$$

Rhannu’r ddwy ochr â -8.

$$x=-10$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-10,y=-2$$