Datrys {l}{44k+b=72}{48k+b=64}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 k + b = 72 } \\ { 48 k + b = 64 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer k, b

$$k=-2$$

$$b=160$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer k drwy ynysu k ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$44k+b=72$$

Tynnu b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$44k=-b+72$$

Rhannu’r ddwy ochr â 44.

$$k=\frac{1}{44}\left(-b+72\right)$$

Lluoswch \frac{1}{44} â -b+72.

$$k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}$$

Amnewid -\frac{b}{44}+\frac{18}{11} am k yn yr hafaliad arall, 48k+b=64.

$$48\left(-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}\right)+b=64$$

Lluoswch 48 â -\frac{b}{44}+\frac{18}{11}.

$$-\frac{12}{11}b+\frac{864}{11}+b=64$$

Adio -\frac{12b}{11} at b.

$$-\frac{1}{11}b+\frac{864}{11}=64$$

Tynnu \frac{864}{11} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{1}{11}b=-\frac{160}{11}$$

Lluosi’r ddwy ochr â -11.

$$b=160$$

Cyfnewidiwch 160 am b yn k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer k yn uniongyrchol.

$$k=-\frac{1}{44}\times 160+\frac{18}{11}$$

Lluoswch -\frac{1}{44} â 160.

$$k=\frac{-40+18}{11}$$

Adio \frac{18}{11} at -\frac{40}{11} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$k=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$k=-2,b=160$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{44-48}&-\frac{1}{44-48}\\-\frac{48}{44-48}&\frac{44}{44-48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 72+\frac{1}{4}\times 64\\12\times 72-11\times 64\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\160\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics k a b.

$$k=-2,b=160$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Tynnwch 48k+b=64 o 44k+b=72 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$44k-48k+b-b=72-64$$

Adio b at -b. Mae'r termau b a -b yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$44k-48k=72-64$$

Adio 44k at -48k.

$$-4k=72-64$$

Adio 72 at -64.

$$-4k=8$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$k=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am k yn 48k+b=64. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer b yn uniongyrchol.

$$48\left(-2\right)+b=64$$

Lluoswch 48 â -2.

$$-96+b=64$$

Adio 96 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$b=160$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$k=-2,b=160$$