Datrys {l}{44=12k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 12 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer k, b

$$k=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$b = \frac{244}{5} = 48\frac{4}{5} = 48.8$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$12k+b=44$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$82k+b=16$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer k drwy ynysu k ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$12k+b=44$$

Tynnu b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$12k=-b+44$$

Rhannu’r ddwy ochr â 12.

$$k=\frac{1}{12}\left(-b+44\right)$$

Lluoswch \frac{1}{12} â -b+44.

$$k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}$$

Amnewid -\frac{b}{12}+\frac{11}{3} am k yn yr hafaliad arall, 82k+b=16.

$$82\left(-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}\right)+b=16$$

Lluoswch 82 â -\frac{b}{12}+\frac{11}{3}.

$$-\frac{41}{6}b+\frac{902}{3}+b=16$$

Adio -\frac{41b}{6} at b.

$$-\frac{35}{6}b+\frac{902}{3}=16$$

Tynnu \frac{902}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{35}{6}b=-\frac{854}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{35}{6}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$b=\frac{244}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{244}{5} am b yn k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer k yn uniongyrchol.

$$k=-\frac{1}{12}\times \frac{244}{5}+\frac{11}{3}$$

Lluoswch -\frac{1}{12} â \frac{244}{5} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$k=-\frac{61}{15}+\frac{11}{3}$$

Adio \frac{11}{3} at -\frac{61}{15} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$k=-\frac{2}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$12k+b=44$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$82k+b=16$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12-82}&-\frac{1}{12-82}\\-\frac{82}{12-82}&\frac{12}{12-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}&\frac{1}{70}\\\frac{41}{35}&-\frac{6}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}\times 44+\frac{1}{70}\times 16\\\frac{41}{35}\times 44-\frac{6}{35}\times 16\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\\frac{244}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics k a b.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$12k+b=44$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$82k+b=16$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Tynnwch 82k+b=16 o 12k+b=44 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12k-82k+b-b=44-16$$

Adio b at -b. Mae'r termau b a -b yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$12k-82k=44-16$$

Adio 12k at -82k.

$$-70k=44-16$$

Adio 44 at -16.

$$-70k=28$$

Rhannu’r ddwy ochr â -70.

$$k=-\frac{2}{5}$$

Cyfnewidiwch -\frac{2}{5} am k yn 82k+b=16. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer b yn uniongyrchol.

$$82\left(-\frac{2}{5}\right)+b=16$$

Lluoswch 82 â -\frac{2}{5}.

$$-\frac{164}{5}+b=16$$

Adio \frac{164}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$b=\frac{244}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$