Datrys {l}{40x+720y=112}{120x+2205y=340.5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 40 x + 720 y = 112 } \\ { 120 x + 2205 y = 340.5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=0.1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$40x+720y=112$$

Tynnu 720y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$40x=-720y+112$$

Rhannu’r ddwy ochr â 40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-720y+112\right)$$

Lluoswch \frac{1}{40} â -720y+112.

$$x=-18y+\frac{14}{5}$$

Amnewid -18y+\frac{14}{5} am x yn yr hafaliad arall, 120x+2205y=340.5.

$$120\left(-18y+\frac{14}{5}\right)+2205y=340.5$$

Lluoswch 120 â -18y+\frac{14}{5}.

$$-2160y+336+2205y=340.5$$

Adio -2160y at 2205y.

$$45y+336=340.5$$

Tynnu 336 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$45y=4.5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 45.

$$y=0.1$$

Cyfnewidiwch 0.1 am y yn x=-18y+\frac{14}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-18\times 0.1+\frac{14}{5}$$

Lluoswch -18 â 0.1.

$$x=\frac{-9+14}{5}$$

Adio \frac{14}{5} at -1.8 drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=0.1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2205}{40\times 2205-720\times 120}&-\frac{720}{40\times 2205-720\times 120}\\-\frac{120}{40\times 2205-720\times 120}&\frac{40}{40\times 2205-720\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}&-\frac{2}{5}\\-\frac{1}{15}&\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}\times 112-\frac{2}{5}\times 340.5\\-\frac{1}{15}\times 112+\frac{1}{45}\times 340.5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

I wneud 40x a 120x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 120 a holl dermau naill ochr yr ail â 40.

$$120\times 40x+120\times 720y=120\times 112,40\times 120x+40\times 2205y=40\times 340.5$$

Symleiddio.

$$4800x+86400y=13440,4800x+88200y=13620$$

Tynnwch 4800x+88200y=13620 o 4800x+86400y=13440 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4800x-4800x+86400y-88200y=13440-13620$$

Adio 4800x at -4800x. Mae'r termau 4800x a -4800x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$86400y-88200y=13440-13620$$

Adio 86400y at -88200y.

$$-1800y=13440-13620$$

Adio 13440 at -13620.

$$-1800y=-180$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1800.

$$y=\frac{1}{10}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{10} am y yn 120x+2205y=340.5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$120x+2205\times \frac{1}{10}=340.5$$

Lluoswch 2205 â \frac{1}{10}.

$$120x+\frac{441}{2}=340.5$$

Tynnu \frac{441}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$120x=120$$

Rhannu’r ddwy ochr â 120.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$