Datrys {l}{4x-2y=8}{5x+3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 8 } \\ { 5 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x-2y=8$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=2y+8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+8\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â 8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Amnewid \frac{y}{2}+2 am x yn yr hafaliad arall, 5x+3y=-1.

$$5\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=-1$$

Lluoswch 5 â \frac{y}{2}+2.

$$\frac{5}{2}y+10+3y=-1$$

Adio \frac{5y}{2} at 3y.

$$\frac{11}{2}y+10=-1$$

Tynnu 10 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{11}{2}y=-11$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{11}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x=\frac{1}{2}y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2\right)+2$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -2.

$$x=-1+2$$

Adio 2 at -1.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{1}{11}\\-\frac{5}{22}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 8+\frac{1}{11}\left(-1\right)\\-\frac{5}{22}\times 8+\frac{2}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

I wneud 4x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$5\times 4x+5\left(-2\right)y=5\times 8,4\times 5x+4\times 3y=4\left(-1\right)$$

Symleiddio.

$$20x-10y=40,20x+12y=-4$$

Tynnwch 20x+12y=-4 o 20x-10y=40 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$20x-20x-10y-12y=40+4$$

Adio 20x at -20x. Mae'r termau 20x a -20x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-10y-12y=40+4$$

Adio -10y at -12y.

$$-22y=40+4$$

Adio 40 at 4.

$$-22y=44$$

Rhannu’r ddwy ochr â -22.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn 5x+3y=-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x+3\left(-2\right)=-1$$

Lluoswch 3 â -2.

$$5x-6=-1$$

Adio 6 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=-2$$