Datrys {l}{4x-2y=6}{x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 6 } \\ { x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x-2y=6,x+2y=4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x-2y=6$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=2y+6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â 6+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Amnewid \frac{3+y}{2} am x yn yr hafaliad arall, x+2y=4.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+2y=4$$

Adio \frac{y}{2} at 2y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}=4$$

Tynnu \frac{3}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{5}{2}y=\frac{5}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{5}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1+3}{2}$$

Adio \frac{3}{2} at \frac{1}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x-2y=6,x+2y=4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{4\times 2-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{10}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 6+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{1}{10}\times 6+\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x-2y=6,x+2y=4$$

I wneud 4x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$4x-2y=6,4x+4\times 2y=4\times 4$$

Symleiddio.

$$4x-2y=6,4x+8y=16$$

Tynnwch 4x+8y=16 o 4x-2y=6 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4x-4x-2y-8y=6-16$$

Adio 4x at -4x. Mae'r termau 4x a -4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-2y-8y=6-16$$

Adio -2y at -8y.

$$-10y=6-16$$

Adio 6 at -16.

$$-10y=-10$$

Rhannu’r ddwy ochr â -10.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x+2y=4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+2=4$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=1$$