Datrys {l}{4(x+y)-3(x-y)=10}{2(x+y)-3(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 10 } \\ { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Cyfuno 4x a -3x i gael x.

$$x+4y+3y=10$$

Cyfuno 4y a 3y i gael 7y.

$$x+7y=10$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Cyfuno 2x a -3x i gael -x.

$$-x+2y+3y=2$$

Cyfuno 2y a 3y i gael 5y.

$$-x+5y=2$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+7y=10$$

Tynnu 7y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-7y+10$$

Amnewid -7y+10 am x yn yr hafaliad arall, -x+5y=2.

$$-\left(-7y+10\right)+5y=2$$

Lluoswch -1 â -7y+10.

$$7y-10+5y=2$$

Adio 7y at 5y.

$$12y-10=2$$

Adio 10 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$12y=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 12.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=-7y+10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-7+10$$

Adio 10 at -7.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Cyfuno 4x a -3x i gael x.

$$x+4y+3y=10$$

Cyfuno 4y a 3y i gael 7y.

$$x+7y=10$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Cyfuno 2x a -3x i gael -x.

$$-x+2y+3y=2$$

Cyfuno 2y a 3y i gael 5y.

$$-x+5y=2$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{5-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-7\left(-1\right)}&\frac{1}{5-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 10-\frac{7}{12}\times 2\\\frac{1}{12}\times 10+\frac{1}{12}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Cyfuno 4x a -3x i gael x.

$$x+4y+3y=10$$

Cyfuno 4y a 3y i gael 7y.

$$x+7y=10$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Cyfuno 2x a -3x i gael -x.

$$-x+2y+3y=2$$

Cyfuno 2y a 3y i gael 5y.

$$-x+5y=2$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

I wneud x a -x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-x-7y=-10,-x+5y=2$$

Tynnwch -x+5y=2 o -x-7y=-10 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-x+x-7y-5y=-10-2$$

Adio -x at x. Mae'r termau -x a x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-7y-5y=-10-2$$

Adio -7y at -5y.

$$-12y=-10-2$$

Adio -10 at -2.

$$-12y=-12$$

Rhannu’r ddwy ochr â -12.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn -x+5y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-x+5=2$$

Tynnu 5 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=1$$