Datrys {l}{3x-5y=10}{x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 10 } \\ { x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{5}{8}=0.625$$

$$y = -\frac{13}{8} = -1\frac{5}{8} = -1.625$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x-5y=10,x+y=-1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x-5y=10$$

Adio 5y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=5y+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â 10+5y.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}$$

Amnewid \frac{10+5y}{3} am x yn yr hafaliad arall, x+y=-1.

$$\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}+y=-1$$

Adio \frac{5y}{3} at y.

$$\frac{8}{3}y+\frac{10}{3}=-1$$

Tynnu \frac{10}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{8}{3}y=-\frac{13}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{8}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{13}{8}$$

Cyfnewidiwch -\frac{13}{8} am y yn x=\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{13}{8}\right)+\frac{10}{3}$$

Lluoswch \frac{5}{3} â -\frac{13}{8} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{65}{24}+\frac{10}{3}$$

Adio \frac{10}{3} at -\frac{65}{24} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{5}{8}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{8},y=-\frac{13}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x-5y=10,x+y=-1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-5\right)}&\frac{3}{3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{5}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 10+\frac{5}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{8}\times 10+\frac{3}{8}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\\-\frac{13}{8}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{5}{8},y=-\frac{13}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x-5y=10,x+y=-1$$

I wneud 3x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$3x-5y=10,3x+3y=3\left(-1\right)$$

Symleiddio.

$$3x-5y=10,3x+3y=-3$$

Tynnwch 3x+3y=-3 o 3x-5y=10 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-3x-5y-3y=10+3$$

Adio 3x at -3x. Mae'r termau 3x a -3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-5y-3y=10+3$$

Adio -5y at -3y.

$$-8y=10+3$$

Adio 10 at 3.

$$-8y=13$$

Rhannu’r ddwy ochr â -8.

$$y=-\frac{13}{8}$$

Cyfnewidiwch -\frac{13}{8} am y yn x+y=-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-\frac{13}{8}=-1$$

Adio \frac{13}{8} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{5}{8}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{8},y=-\frac{13}{8}$$