Datrys {l}{3x+y=5}{2x-2y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 2 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+y=5,2x-2y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+y=5$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Amnewid \frac{-y+5}{3} am x yn yr hafaliad arall, 2x-2y=2.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)-2y=2$$

Lluoswch 2 â \frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-2y=2$$

Adio -\frac{2y}{3} at -2y.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{10}{3}=2$$

Tynnu \frac{10}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{4}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{8}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{1}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{2} am y yn x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{5}{3}$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â \frac{1}{2} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{1}{6}+\frac{5}{3}$$

Adio \frac{5}{3} at -\frac{1}{6} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{3}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+y=5,2x-2y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&1\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-2\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-2\right)-2}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 2\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{3}{8}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+y=5,2x-2y=2$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-2\right)y=3\times 2$$

Symleiddio.

$$6x+2y=10,6x-6y=6$$

Tynnwch 6x-6y=6 o 6x+2y=10 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+2y+6y=10-6$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y+6y=10-6$$

Adio 2y at 6y.

$$8y=10-6$$

Adio 10 at -6.

$$8y=4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{2} am y yn 2x-2y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-2\times \frac{1}{2}=2$$

Lluoswch -2 â \frac{1}{2}.

$$2x-1=2$$

Adio 1 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$