Datrys {l}{3x+5y=9}{2x-5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 9 } \\ { 2 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+5y=9,2x-5y=1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+5y=9$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-5y+9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+9\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -5y+9.

$$x=-\frac{5}{3}y+3$$

Amnewid -\frac{5y}{3}+3 am x yn yr hafaliad arall, 2x-5y=1.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+3\right)-5y=1$$

Lluoswch 2 â -\frac{5y}{3}+3.

$$-\frac{10}{3}y+6-5y=1$$

Adio -\frac{10y}{3} at -5y.

$$-\frac{25}{3}y+6=1$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{25}{3}y=-5$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{25}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{3}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{3}{5} am y yn x=-\frac{5}{3}y+3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{3}{5}+3$$

Lluoswch -\frac{5}{3} â \frac{3}{5} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-1+3$$

Adio 3 at -1.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=\frac{3}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+5y=9,2x-5y=1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-5\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-5\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-5\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 9+\frac{1}{5}\\\frac{2}{25}\times 9-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=\frac{3}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+5y=9,2x-5y=1$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 9,3\times 2x+3\left(-5\right)y=3$$

Symleiddio.

$$6x+10y=18,6x-15y=3$$

Tynnwch 6x-15y=3 o 6x+10y=18 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+10y+15y=18-3$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$10y+15y=18-3$$

Adio 10y at 15y.

$$25y=18-3$$

Adio 18 at -3.

$$25y=15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 25.

$$y=\frac{3}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{3}{5} am y yn 2x-5y=1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-5\times \frac{3}{5}=1$$

Lluoswch -5 â \frac{3}{5}.

$$2x-3=1$$

Adio 3 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=\frac{3}{5}$$