Datrys {l}{3a+7b=44}{-5a+6b=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 7 b = 44 } \\ { - 5 a + 6 b = 15 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a=3$$

$$b=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3a+7b=44$$

Tynnu 7b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3a=-7b+44$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-7b+44\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -7b+44.

$$a=-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}$$

Amnewid \frac{-7b+44}{3} am a yn yr hafaliad arall, -5a+6b=15.

$$-5\left(-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}\right)+6b=15$$

Lluoswch -5 â \frac{-7b+44}{3}.

$$\frac{35}{3}b-\frac{220}{3}+6b=15$$

Adio \frac{35b}{3} at 6b.

$$\frac{53}{3}b-\frac{220}{3}=15$$

Adio \frac{220}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{53}{3}b=\frac{265}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{53}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$b=5$$

Cyfnewidiwch 5 am b yn a=-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=-\frac{7}{3}\times 5+\frac{44}{3}$$

Lluoswch -\frac{7}{3} â 5.

$$a=\frac{-35+44}{3}$$

Adio \frac{44}{3} at -\frac{35}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$a=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=3,b=5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-7\left(-5\right)}&-\frac{7}{3\times 6-7\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\times 6-7\left(-5\right)}&\frac{3}{3\times 6-7\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{53}&-\frac{7}{53}\\\frac{5}{53}&\frac{3}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{53}\times 44-\frac{7}{53}\times 15\\\frac{5}{53}\times 44+\frac{3}{53}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=3,b=5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

I wneud 3a a -5a yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -5 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$-5\times 3a-5\times 7b=-5\times 44,3\left(-5\right)a+3\times 6b=3\times 15$$

Symleiddio.

$$-15a-35b=-220,-15a+18b=45$$

Tynnwch -15a+18b=45 o -15a-35b=-220 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-15a+15a-35b-18b=-220-45$$

Adio -15a at 15a. Mae'r termau -15a a 15a yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-35b-18b=-220-45$$

Adio -35b at -18b.

$$-53b=-220-45$$

Adio -220 at -45.

$$-53b=-265$$

Rhannu’r ddwy ochr â -53.

$$b=5$$

Cyfnewidiwch 5 am b yn -5a+6b=15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$-5a+6\times 5=15$$

Lluoswch 6 â 5.

$$-5a+30=15$$

Tynnu 30 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-5a=-15$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$a=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=3,b=5$$