Datrys {l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -4 â x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Cyfuno 3x a -4x i gael -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Cyfuno 3y a 4y i gael 7y.

$$-x+7y=-18$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi \frac{1}{2} â x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi \frac{1}{6} â x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Cyfuno \frac{1}{2}x a \frac{1}{6}x i gael \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Cyfuno \frac{1}{2}y a -\frac{1}{6}y i gael \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-x+7y=-18$$

Tynnu 7y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=-7y-18$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

Lluoswch -1 â -7y-18.

$$x=7y+18$$

Amnewid 7y+18 am x yn yr hafaliad arall, \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

Lluoswch \frac{2}{3} â 7y+18.

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

Adio \frac{14y}{3} at \frac{y}{3}.

$$5y+12=2$$

Tynnu 12 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5y=-10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x=7y+18. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=7\left(-2\right)+18$$

Lluoswch 7 â -2.

$$x=-14+18$$

Adio 18 at -14.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -4 â x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Cyfuno 3x a -4x i gael -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Cyfuno 3y a 4y i gael 7y.

$$-x+7y=-18$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi \frac{1}{2} â x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi \frac{1}{6} â x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Cyfuno \frac{1}{2}x a \frac{1}{6}x i gael \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Cyfuno \frac{1}{2}y a -\frac{1}{6}y i gael \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -4 â x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Cyfuno 3x a -4x i gael -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Cyfuno 3y a 4y i gael 7y.

$$-x+7y=-18$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi \frac{1}{2} â x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi \frac{1}{6} â x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Cyfuno \frac{1}{2}x a \frac{1}{6}x i gael \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Cyfuno \frac{1}{2}y a -\frac{1}{6}y i gael \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

I wneud -x a \frac{2x}{3} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â \frac{2}{3} a holl dermau naill ochr yr ail â -1.

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

Symleiddio.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

Tynnwch -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2 o -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

Adio -\frac{2x}{3} at \frac{2x}{3}. Mae'r termau -\frac{2x}{3} a \frac{2x}{3} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

Adio \frac{14y}{3} at \frac{y}{3}.

$$5y=-12+2$$

Adio -12 at 2.

$$5y=-10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -2.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

Adio \frac{2}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{2}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=-2$$