Datrys {l}{200x+300y=360}{300x+200y=340}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$200x+300y=360$$

Tynnu 300y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$200x=-300y+360$$

Rhannu’r ddwy ochr â 200.

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

Lluoswch \frac{1}{200} â -300y+360.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

Amnewid -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} am x yn yr hafaliad arall, 300x+200y=340.

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

Lluoswch 300 â -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5}.

$$-450y+540+200y=340$$

Adio -450y at 200y.

$$-250y+540=340$$

Tynnu 540 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-250y=-200$$

Rhannu’r ddwy ochr â -250.

$$y=\frac{4}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{4}{5} am y yn x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â \frac{4}{5} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

Adio \frac{9}{5} at -\frac{6}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{3}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

I wneud 200x a 300x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 300 a holl dermau naill ochr yr ail â 200.

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

Symleiddio.

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

Tynnwch 60000x+40000y=68000 o 60000x+90000y=108000 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

Adio 60000x at -60000x. Mae'r termau 60000x a -60000x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$90000y-40000y=108000-68000$$

Adio 90000y at -40000y.

$$50000y=108000-68000$$

Adio 108000 at -68000.

$$50000y=40000$$

Rhannu’r ddwy ochr â 50000.

$$y=\frac{4}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{4}{5} am y yn 300x+200y=340. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

Lluoswch 200 â \frac{4}{5}.

$$300x+160=340$$

Tynnu 160 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$300x=180$$

Rhannu’r ddwy ochr â 300.

$$x=\frac{3}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$