Datrys {l}{2x-y=3}{3x+4y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 3 } \\ { 3 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{14}{11} = 1\frac{3}{11} \approx 1.272727273$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-y=3,3x+4y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-y=3$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=y+3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+3\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â y+3.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Amnewid \frac{3+y}{2} am x yn yr hafaliad arall, 3x+4y=2.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+4y=2$$

Lluoswch 3 â \frac{3+y}{2}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+4y=2$$

Adio \frac{3y}{2} at 4y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{9}{2}=2$$

Tynnu \frac{9}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{11}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Cyfnewidiwch -\frac{5}{11} am y yn x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{3}{2}$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -\frac{5}{11} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{5}{22}+\frac{3}{2}$$

Adio \frac{3}{2} at -\frac{5}{22} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{14}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{14}{11},y=-\frac{5}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-y=3,3x+4y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 3+\frac{1}{11}\times 2\\-\frac{3}{11}\times 3+\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{14}{11},y=-\frac{5}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-y=3,3x+4y=2$$

I wneud 2x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 3,2\times 3x+2\times 4y=2\times 2$$

Symleiddio.

$$6x-3y=9,6x+8y=4$$

Tynnwch 6x+8y=4 o 6x-3y=9 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-3y-8y=9-4$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-3y-8y=9-4$$

Adio -3y at -8y.

$$-11y=9-4$$

Adio 9 at -4.

$$-11y=5$$

Rhannu’r ddwy ochr â -11.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Cyfnewidiwch -\frac{5}{11} am y yn 3x+4y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+4\left(-\frac{5}{11}\right)=2$$

Lluoswch 4 â -\frac{5}{11}.

$$3x-\frac{20}{11}=2$$

Adio \frac{20}{11} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=\frac{42}{11}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{14}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{14}{11},y=-\frac{5}{11}$$